Halaman
171BAB IV ~ Limit FungsiLIMIT FUNGSISetelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat:1. menjelaskan arti limit fungsi di suatu titik,2. menghitung limit fungsi aljabar di suatu titik,3. menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit,4. menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi aljabar,5. menjelaskan limit dari bentuk tak tentu,6. menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit fungsi bentuktak tentu,7. menghitung limit fungsi yang mengarah kepada konsep turunan,8. menentukan laju perubahan nilai fungsi terhadap peubah bebasnya.IVBABTujuan Pembelajaran
Matematika Kelas XI - IPS SMA172Sebuah perusahaan handpone memperkirakanbahwa biaya produksi (dalam jutaan rupiah) untukmodel seri tertentu adalah:23()90060,30,001Cxxxx=+− +dengan x banyak handphone yang diproduksi. Untukmemperoleh keuntungan maksimum, maka perusahaanharus menekan biaya produksinya. Pertanyaannya,berapakah tingkat produksi perusahaan tersebut untukmeminimumkan biaya produksi?Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut,sebaiknya Anda ingat kembali beberapa konsep tentangbentuk pangkat dan akar, daerah asal, dan operasi aljabar fungsi. Kemudian, silakanmempelajari isi bab ini. Dengan telah menguasai konsep-konsep pada bab ini, Andadiharapkan menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang terkait, secara khususpermasalahan di atas.4.1 Pengertian LimitKonsep limit fungsi merupakan dasar untuk mempelajari kalkulus, meskipunkalkulus sendiri telah dikenalkan oleh Sir Isaac Newton dan Gottried Wilhelm Leibnizpada pertengahan abad ke-17, sedangkan konsep limit fungsi baru dikenalkan olehAgustin Louis Cauchy pada abad ke-18.Konsep limit fungsi di suatu titik yang akan kita pelajari adalah melalui pendekatanintuitif, yaitu dimulai dengan menghitung nilai-nilai fungsi di sekitar titik tersebut,terkecuali di titik itu sendiri. Sebagai contoh, kita perhatikan fungsi f yang diberikanoleh:21()1xfxx−=−Periksa bahwa daerah asal dari f adalah semua bilangan real x kecuali x= 1 karenaf(1) tidak ada. Kita akan menyelidiki nilai fungsi f apabila x mendekati 1, tetapi tidaksama dengan 1. Misalkan x mengambil nilai 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; danseterusnya. Dalam hal ini kita mengambil nilai xyang semakin dekat 1, tetapi lebih kecil1. Nilai-nilai fungsi f untuk harga-harga ini diberikan Tabel 4.1. Kemudian, misalkan xmendekati 1 sepanjang nilai yang lebih besar 1 , yaitu x mengambil nilai 2; 1,75; 1,5; 1,25;1,1; 1,01; 1,001; 1,0001; 1,00001, dan seterusnya. Lihat Tabel 4.2.Tabel 4.1Tabel 4.2x00,250,50,750,90,990,9990,999921()1xf xx−=−11,251,51,751,91,991,9991,9999x21,751,51,251,11,011,0011,000121()1xf xx−=−32,752,52,252,12,012,0012,0001PengantarGambar 4.1Perusahaan handphone Sumber: imageshack.com
173BAB IV ~ Limit FungsiDari Tabel 4.1 dan Tabel 4.2, kita periksa bahwa jika x bergerak semakin dekat ke 1,baik dari arah kiri maupun dari arah kanan, maka f(x) bergerak semakin dekat ke 2.Sebagai contoh, dari Tabel 4.1, jika x = 0,999 maka f(x) = 1,999. Yaitu, jika x lebih kecil0,001 dari 1, maka f(x) lebih kecil 0,001 dari 2.Dari Tabel 4.2, jika x = 1,001 maka f (x) = 2,001. Yaitu, jika x lebih besar 0,001 dari 1,maka f(x) lebih besar 0,001 dari 2.Situasi di atas mengatakan bahwa kita dapat membuat nilai f(x) mendekati 2 asalkankita tempatkan x cukup dekat dengan 1, meskipun nilai f(1) tidak ada. Situasi semacamini secara matematika kita tuliskan dengan:1lim ( ) 2xfx→=Perlu dicatat di sini bahwa nilai 2(1)f≠ karena f tidak terdefinisi di x = 1. Secaragrafik situasi ini dapat digambarkan bahwa ketika x= 1, grafiknya terputus (berlubang).Gambar 4.2Grafik2(1)(1)xxy−−=Secara umum, kita gunakan notasi berikut.Definisi 4.1Limit f(x) ketika x mendekati c sama dengan L, kita tuliskan dengan:lim ( )xcfx L→=jika kita dapat membuat nilai f(x) sembarang yang dekat dengan L (sedekatyang kita mau) dengan cara mengambil nilai x yang dekat dengan c, tetapitidak sama dengan c.Kasarnya, nilai f (x) akan semakin mendekati nilai L ketika x mendekati nilai c (daridua sisi) tetapi xc≠. Definisi secara formal akan kita pelajari nanti ketika belajar kalkulusdi perguruan tinggi.−=−211xyxy0 1 2 3321x
Matematika Kelas XI - IPS SMA174Notasi alternatif untuklim ( )xcfxL→=adalah:()fxL→ seraya xc→yang dibaca f(x) mendekati L ketika xmendekati c.Kita perhatikan ungkapan tetapi xc≠ dalam Definisi 4.1, bermakna bahwa dalammenentukan limit f(x) ketika x mendekati c, kita tidak pernah menganggap x = c. Bahkanf(x) tidak harus terdefinisi di x = c. Tetapi yang harus kita pedulikan adalah bagaimana fterdefinisi di dekat c.Dengan penjelasan di depan, juga membawa konsekuensi bahwa jika lim ( )xcfx→ ada,limit tersebut tunggal adanya. Sifat ini yang lebih dikenal sebagai teorema ketunggalanlimit.Gambar 4.3 memperlihatkan grafik dari tiga fungsi. Kita perhatikan bahwa di bagian(b) ()Lfc≠, sedangkan di bagian (c) f(c) tidak terdefinisi. Tetapi pada setiap kasus,apapun yang terjadi di c, lim ( )xcfxL→=.Gambar 4.3lim ( )xcfxL→= dalam Tiga KasusContoh 4.1.1Tebaklah nilai 222lim4xxx→−−.Penyelesaian:Perhatikan bahwa fungsi 2() ( 2)( 4)fxxx=−− tidak terdefinisi di x = 2, tetapi hal itutidak menjadi masalah karena yang perlu kita pertimbangkan dalam menghitung2lim ( )xfx→ adalah titik-titik di sekitar 2, bukan untuk x = 2. Tabel 4.3 dan 4.4 memberikannilai f(x) (sampai enam desimal) untuk nilai x yang mendekati 2 (tetapi tidak sama dengan2). Dengan merujuk nilai-nilai pada tabel, kita dapat menebak bahwa:2221lim44xxx→−=−0cxyyyLLL0cx0cx(a) (b) (c)
175BAB IV ~ Limit FungsiTabel 4.3Tabel 4.4Ilustrasi grafik diberikan oleh Gambar 4.4.Gambar 4.4 Grafik fungsi 2(2)( 4)yxx=−−WContoh 4.1.2Carilah 22016 4limxxx→+−.Penyelesaian:Tabel 4.5 memberikan data nilai fungsi di beberapa nilai xdi sekitar 0.Tabel 4.5Pada saat x mendekati 0, nilai fungsi tampak mendekati 0,1249999... , sehingga kitamenebak bahwa 22016 4 1lim8xxx→+−=.Wx < 21,51,751,91,991,9991,99990,2857140,2666670,2564100,2506260,2500630,250006f(x)x > 22,52,252,12,012,0012,00010,2222220,2352940,2430900,2493770,2499380,249994f(x)x±1,0±0,5±0,1±0,05±0,010,1231060,1245160,1249800,1249950,1249992216 4xx+ −yx0.750.50.250 1 2 3
Matematika Kelas XI - IPS SMA176Contoh 4.1.3Fungsi Heaviside Hdidefiniskan oleh:0 , untuk 0()1 , untuk 0tHtt<⎧=⎨≥⎩Fungsi ini dinamai oleh penemunya, seorang insinyur elektrik Oliver Heaviside(1850 1925). Grafiknya diberikan oleh Gambar 4.5.Gambar 4.5Fungsi HeavisideKetika t mendekati 0 dari arah kiri, H(t) mendekati 0, tetapi jika t mendekati 0 dariarah kanan, H(t) mendekati 1. Oleh karena itu tidak ada bilangan tunggal yang didekatioleh H(t) ketika t mendekati 0. Dalam situasi seperti ini kita katakan bahwa 0lim ( )tHt→tidak ada.WLimit Satu SisiPada Contoh 4.1.3 dijelaskan bahwa H(t) mendekati 0 ketika t mendekati 0 dari arahkiri dan H(t) mendekati 1 ketika t mendekati 0 dari arah kanan. Seperti disampaikanpada contoh itu, bahwa 0lim ( )tHt→ tidak ada. Namun secara khusus kita dapat mengatakanbahwa:0lim ( )0tHt−→= dan 0lim ( ) 1tHt+→=Simbol 0""t−→ menunjukkan bahwa yang kita pertimbangkan hanyalah nilai t yanglebih kecil dari 0. Demikian pula, 0""t+→ menunjukkan bahwa yang kita pertimbangkanhanyalah nilai t yang lebih besar dari 0. Secara umum kita mempunyai definisi berikutini.Definisi 4.2Limit kiri f(x) ketika x mendekati c sama dengan L, kita tuliskan dengan:lim ( )xcfx L−→=jika kita dapat membuat f(x) sembarang dekat dengan L dengan cara mengambilnilai x cukup dekat ke c, dan xlebih kecil daripada c.yx10
177BAB IV ~ Limit FungsiJika kita bandingkan Definisi 4.2 dengan Definisi 4.1, perbedaannya adalah bahwakita syaratkan x harus lebih kecil daripada c. Dengan cara serupa, jika kita syaratkan xharus lebih besar daripada c, kita peroleh limit kanan dari f (x) ketika x mendekati cadalah sama dengan L, dan kita notasikan dengan:lim ( )xcfxL+→=Dengan membandingkan Definisi 4.1 dan definisi limit satu-sisi, kita mempunyaihasil berikut ini.Teorema 4.1lim ( )xcfx L→= jika dan hanya jika lim( )xcfx L−→= dan lim( )xcfx L+→=.Contoh 4.1.4Misalkan: 3 , untuk 1()3 , untuk 1xxfxxx+≤⎧=⎨−+>⎩Hitunglah (jika ada):a.1lim ( )xfx−→b.1lim ( )xfx+→c.1lim ( )xfx→Penyelesaian:a. Jika kita ambil xmendekati 1 dari arah kiri, maka nilai f(x) dekat ke 4. Oleh karenaitu,1lim ( ) 4xfx−→=b. Jika kita ambil xmendekati 1 dari arah kanan, maka nilai f(x) dekat ke 2. Dengandemikian,1lim ( ) 2xfx+→=c. Dari dua jawaban di atas, 11lim ( ) lim ( )xxfxfx−+→→≠. Menurut Teorema 4.1, kita simpulkanbahwa:1lim ( )xfx→ tidak ada
Matematika Kelas XI - IPS SMA178Sebagai ilustrasi situasi ini, grafik fungsi f diberikan oleh Gambar 4.6.Gambar 4.6Meskipun tampak bahwa nilai f(1) = 4, tidak berarti 1lim ( ) 4xfx→=.WContoh 4.1.5Misalkan 21 , untuk 2()5 , untuk 2xxfxx−≠⎧=⎨=⎩ . Tentukan 2lim ( )xfx→.Penyelesaian:Dalam hal ini f(2) = 5, tetapi jika 2x≠ dan x yang cukup dekat dengan 2, maka nilai f(x)dekat dengan 3. Jadi,2lim ( ) 3xfx→=Perhatikan ilustrasi grafiknya pada Gambar 4.7.Gambar 4.7Wy54312 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4xy = f(x)y54312 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4xy = f(x)-1
179BAB IV ~ Limit FungsiDari Contoh 4.1.1 dan juga ilustrasi di awal subbab meskipun akurat, caramenentukan nilai limit fungsi di suatu titik dengan metode tersebut terkesan lambandan tidak efisien. Penebakan nilai limit untuk beberapa fungsi dapat dilakukan denganpemfaktoran. Sebagai ilustrasi, kita perhatikan kembali Contoh 4.1.1 bahwa untuk 2x≠atau 20x−≠, fungsi 2() ( 2)( 4)fxxx=−− dapat kita sederhanakan menjadi:2221()4( 2)( 2) 2xxfxxxxx−−===−−++Kemudian dengan mengambil x mendekati 2 (baik dari kanan ataupun dari kiri),maka nilai f(x) mendekati 1/4. Oleh karena itu,2222 2 211lim limlim4(2)(2) 2 4xxxxxxxxx→→→−−===−−++1. Jika p adalah sukubanyak, tunjukkan bahwa lim ( )( )xcpx pa→=.2. Apa yang salah dengan persamaan berikut?231052xxxx+−=+−Kemudian, mengapa persamaan:222310lim lim (5)2xxxxxx→→+−=+−benar?1. Jelaskan dengan kata-kata sendiri apakah yang dimasud dengan persamaan 2lim ( )7xfx→−=.Mungkinkah pernyataan ini benar dan harus (2) 7f−=? Jelaskan.2. Apakah yang dimaksud dengan mengatakan:1lim ( ) 5xfx−→=dan1lim ( ) 4xfx+→=−.Dalam keadaan ini, mungkinkah 1lim ( )xfx→ ada? Jelaskan.Tugas MandiriLatihan 4.1
Matematika Kelas XI - IPS SMA1803. Untuk fungsi yang grafiknya diberikan, nyatakan nilai besaran yang diberikan jika ada.Jika tidak ada, mengapa?a.1lim ( )xfx→d.3lim ( )xfx→b.3lim ( )xfx−→e.(3)fc.3lim ( )xfx+→Gambar 4.84. Untuk fungsi yang grafiknya diberikan, nyatakan nilai besaran yang diberikan jika ada.Jika tidak ada, mengapa?a.2lim ( )xfx→−d.2lim ( )xfx→b.2lim ( )xfx−→e.(2)f−c.2lim ( )xfx+→f.(2)fGambar 4.95. Gambarkan sketsa grafik fungsi f berikut dan gunakanlah untuk menentukan nilai csehingga lim ( )xcfx→ ada.25 , untuk 1()6 , untuk 1 xxfxxx⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩420 2 4yxyx42-4 - 2 0 2 4
181BAB IV ~ Limit Fungsi6. (Gunakan kalkulator) Jika ada, tentukan setiap limit yang diberikan berikut. Jika tidakada, mengapa?a.2lim 3 2xx→−+c.22lim 2xx→+b.22lim ( 21)xxx→+−d.211lim 22xxx→−−+7. Tentukan nilai k sehingga limit yang diberikan ada.a.2lim ( )xfx→ dengan 3 2 , untuk 2()5 , untuk 2xxfxxkx+≤⎧=⎨+>⎩b.1lim ( )xfx→− dengan 23 , untuk 1() , untuk 1kxxfxxkx−≤−⎧⎪=⎨+>−⎪⎩8. Seorang pasien menerima suntikan 150 mg obat setiap 4 jam. Grafik menunjukkanbanyaknya f(t) obat di dalam aliran darah setelah t jam. Tentukan 12lim ( )xft−→ dan 12lim ( )xft+→,dan jelaskan arti penting limit satu arah ini.Gambar 4.109.PerdaganganSeorang pedagang menjual produksinya dalam satuan kilogram. Jika tidak lebih dari 10kg yang dipesan, ongkos pedagang tersebut adalah Rp10.000,00 per kg. Tetapi untukmengundang banyak pemesan, pedagang itu menurunkan ongkosnya hanya Rp9.000,00per kg untuk pembelian di atas 10 kg. Jadi, jika x kg hasil produksinya terjual, maka besarnyajumlah ongkos C(x) (dalam puluhan ribu rupiah) untuk pesanan tersebut diberikan oleh: , untuk 010()0,9 , untuk 10xxCxxx≤≤⎧=⎨>⎩Gambarkan sketsa grafik fungsi C. Kemudian, tentukan 10lim ( )xCx−→,10lim ( )xCx+→, dan 10lim( )xCx→jika ada.f(t)3001500 4 8 12 16 t
Matematika Kelas XI - IPS SMA18210. Pengkapalan muatan didasarkan pada aturan bahwa rendahnya tawaran ongkos perkilogram sesuai kenaikan muatannya. Misalkan terdapat muatan yang beratnya xkg danC(x) (dalam puluhan ribuan rupiah) menyatakan ongkos muatannya, dengan:0,80,untuk 050()0,70,untuk 502000,65 ,untuk 200xxCxxxxx<≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩a. Gambarkan sketsa grafik fungsi C.b. Hitunglah 50lim ( )xCx−→ dan 50lim ( )xCx+→ serta 200lim ( )xCx−→ dan 200lim ( )xCx+→.4.2 Teorema Limit Fungsi AljabarPada subbab sebelumya, kita menggunakan kalkulator dan grafik untuk menebaknilai limit, dan adakalanya tebakan kita tidak tepat. Dua metode tersebut terkesan kurangefisien. Setelah memahami betul konsep tersebut, dalam subbab ini kita akanmenggunakan sifat-sifat limit berikut, yang disebut Teorema Limit untuk menghitunglimit fungsi aljabar lebih efisien. Teorema-teorema limit berikut disajikan tanpa buktikarena buktinya menggunakan definisi formal, yang di luar jangkauan buku ini.Fungsi f disebut fungsi aljabar, jika fungsi tersebut dapat diperoleh denganmenggunakan operasi aljabar (seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian,dan penarikan akar) yang dimulai dengan suku banyak.Teorema 4.2 (Teorema Limit)1.lim xckk→=, k adalah suatu konstanta2.lim xcxc→=3.lim nnxcxc→=, n bilangan asli4. Jika k adalah suatu konstanta, danlim ( )xcfx→ dan lim ( )xcgx→ adamaka:a.lim ( )( )lim ( )xcxckf xkf x→→=b.lim ()() lim () lim ()xcxcxcfgxfxgx→→→+= +c.lim ( )() lim ()lim ()xcxcxcfg xf xg x→→→=⋅d.lim ( )lim ( )lim ( )xcxcxcfxfxggx→→→=⎛⎞⎜⎟⎝⎠, asalkan lim ( )0xcgx→≠e.lim ( )lim ( )nnxcxcfxfx→→=⎡⎤⎣⎦, untuk n bilangan aslif.lim ( )lim ( )nnxcxcfxfx→→=, n bilangan asli, dan lim ( )0xcfx→>
183BAB IV ~ Limit FungsiContoh 4.2.1Hitung limit berikut dan beri alasan tiap langkah.a.23lim ( 8 6)xxx→+−b.322lim ( 3)( 5 )xxxx→−+−c.32221lim 53xxxx→+−−Penyelesaian:a.23lim ( 8 6)xxx→+−=2333lim lim8 lim6xxxxx→→ →+−(Teorema 4.2 bagian 4b)=2333lim 8lim lim6xxxxx→→→+−(Teorema 4.2 bagian 4a)=23836+⋅−(Teorema 4.2 bagian 2 dan 3)=27b.322lim ( 3)( 5 )xxxx→−+− =3222lim ( 3) lim ( 5 )xxxxx→−→−+⋅− (Teorema 4.2 bagian 4c) =()()322222lim lim3 lim 5limxxxxxxx→−→−→−→−+⋅ − (Teorema 4.2 bagian 4a dan 4b) =()()32(2) 3 (2) 5(2)−+⋅−−− (Teorema 4.2 bagian 2 dan 3) = (5)(14) = 70c.3232222lim( 21)2115lim 155 3 lim(5 3 ) 1xxxxxxxxx→→→+−+−===−−−− (Teorema 4.2 bagian 4d)WContoh 4.2.2Tentukan 181lim 3xxx→++.Penyelesaian:181lim 3xxx→++=181lim3xxx→++(Teorema 4.2 bagian 4f)=11lim(8 1)lim( 3)xxxx→→++(Teorema 4.2 bagian 4d)=8113++=32W
Matematika Kelas XI - IPS SMA184Dalam praktiknya kita sering menjumpai bentuk ()0lim()0xcfxgx→=, sehingga sifat limit4d tidak dapat kita terapkan secara langsung karena pembagian dengan bilangan noltidak dibenarkan. Limit model ini sering disebut sebagai limit bentuk tak tentu. Caramenghitung limit jenis ini, terlebih dahulu kita sederhanakan atau kita rasionalkanterlebih dahulu. Berikut ini beberapa contoh yang berkaitan dengan bagaimanamenghitung limit dari bentuk tak tentu.Contoh 4.2.3Tentukan 239lim 3xxx→−−.Penyelesaian:Karena 3lim ( 3)0xx→−=, maka kita tidak dapat menerapkan sifat limit 4d. Denganmemfaktorkan pembilang, kita peroleh:29(3)(3)33xxxxx−−+=−−Jika 3x≠ (30x−≠), maka pembilang dan penyebut dapat dibagi dengan 3x−,29(3)(3) 333xxxxxx−−+==+−−Karena dalam menghitung limit kita hanya memperhatikan nilai x di sekitar 3 tetapitidak sama dengan 3, maka pembagian di sini diperbolehkan. Jadi,2339lim lim( 3) 63xxxxx→→−=+=−WContoh 4.2.4Tentukan 42lim 4xxx→−−.Penyelesaian:Seperti pada Contoh 4.2.3, untuk 4x≠ kita peroleh: 2( 2) 14(2)(2) 2xxxxxx−−==−−+ +Oleh karena itu, dengan menerapkan Teorema 4.2 4d,4421lim lim 4214214xxxxx→→=−=−++=W
185BAB IV ~ Limit FungsiContoh 4.2.5Hitung 22016 4limxxx→+−.Penyelesaian:Kita tidak dapat menerapkan Teorema 4.2 (4d) secara langsung karena limit penyebutbernilai 0. Di sini pembilang kita rasionalkan lebih dahulu, yaitu menghilangkan tandaakarnya. Dalam hal ini kita kalikan dengan sekawannya,22222216 4 16 4 16 416 4xxxxxx+−+−++=×++2222222(16)16(164)16 4116 4xxxxxxx+−=++=++=++Jadi,2220016 411 1lim lim= 8016 416 4xxxxx→→+−==++++Hasil ini sesuai dengan tebakan kita dulu pada Contoh 4.1.2.WContoh 4.2.6.Misalkan2() 3 1fxxx=+−, hitunglah 0()()lim hfxhfxh→+−.Penyelesaian:Karena 0h≠, maka kita peroleh:22()()[()3()1][31]fxhfxxhxhxxhh+−+++−−+−=223xhhhh++=23xh=++Jadi,00()()lim lim ( 23 ) 23hhfxhfxxhxh→→+−=++=+W
Matematika Kelas XI - IPS SMA186Contoh 4.2.7Misalkan ()fxx=, hitunglah 0( 2) ( 2)lim hfhfh→+−.Penyelesaian:Seperti pada Contoh 4.2.5, pembilangnya kita rasionalkan lebih dahulu.Kemudian, karena 0h≠,( 2) ( 2)22fhfhhh+−+−=222222hhhh+−++=⋅++( 2) 2( 2 2)hhh+−=++122h=++Jadi,0( 2) ( 2)lim hfhfh→+−011lim2222hh→==++WDiskusikan dengan kelompok Anda untuk membahas soal-soal berikut ini.1. Berikan contoh dua buah fungsi, f dan g, sehingga lim ( )xcfx→ atau lim ( )xcgx→ tidakada, tetapi lim [ ( )( )]xcfx gx→+ ada.2. Berikan contoh dua buah fungsi, f dan g, sehingga lim ( )xcfx→ atau lim ( )xcgx→ tidak ada,tetapi →lim [()()]xcfxgx ada.1. Diketahui bahwa:lim ( ) 2xcfx→=−lim ( )0xcgx→=lim ( ) 16xchx→=Tentukan limit berikut (jika ada). Jika tidak ada, mengapa?a.lim [() ()]xcfxhx→+b.3lim [()]xcfx→Tugas KelompokLatihan 4.2
187BAB IV ~ Limit Fungsic.4lim ( )xchx→e.()lim ()xcfxgx→d.()lim ()xcfxhx→f.3()lim () 2()xcfxhxfx→−2. Tentukan setiap limit yang diberikan dengan menggunakan teorema limit fungsi.a.23lim ( 2 5)xxx→−+d.242416lim 23xxxxx→⎛⎞+−⎜⎟++⎝⎠b.322lim ( 2)( 8 )xxxx→+−e.42lim 3 6ttt→−++c.2121lim 34xxxx→−+−+f.24lim 16xx−→−3. a. Apa yang salah dengan persamaan berikut?23441xxxx+−=+−b. Dengan fakta di bagian a, mengapa persamaan:21134limlim( 4)1xxxxxx→→+−=+−benar?4. Hitunglah setiap limit berikut, jika ada.a.2525lim 5ttt→−−+f.093lim xxx→−−b.23/249lim 23xxx→−−+g.55lim 43xxx→−+−c.22356lim 12xxxxx→−++−−h.2112lim 11xxx→⎛⎞−⎜⎟−−⎝⎠d.222232lim 16 6yyyyy→−−−+−i.422202lim xxxxx→−−e.99lim 3xxx→−−j.3011lim ttt→+−5. Tentukan 0()()lim hfxhfxh→+− untuk setiap fungsi yang diberikan.a.2() 3 6fxxx=− +d.() 2fxx=b.3() 8fxx=−e.1() , 22fxxx=≠−+c.1() , 0fxxx=≠6. Tentukan 0(3 ) (3)lim hfhfh→+− untuk setiap fungsi f pada soal nomor 5.
Matematika Kelas XI - IPS SMA1884.3 Laju Perubahan (Pengayaan)Misalkan y adalah suatu besaran yang bergantung pada besaran lain, x, sehingga yadalah fungsi dari x dan dapat kita tuliskan y = f(x). Jika x berubah dari xc=sampaixch=+, maka perubahan xadalah:()xchchΔ= + −=(xΔ dibaca delta x) dan perubahan padanannya adalah:()()yfc h fcΔ= + −Hasil bagi selisih:()()yfc h fcxhΔ+−=Δdisebut rerata laju perubahan y terhadap x sepanjang interval [,]cc h+, dan ditafsirkansebagai kemiringan tali busur PQ pada Gambar 4.11.Gambar 4.11Rerata Laju PerubahanKita tinjau laju perubahan rerata pada interval yang semakin kecil [,]cc h+, sehinggah mendekati 0. Limit laju perubahan rerata ini disebut laju perubahan sesaat y terhadapxsaat xc=, yang ditafsirkan sebagai kemiringan garis singgung pada kurva ()yfx=di (, ())Pc f c:Laju perubahan sesaat 00()()limlim xhyfchfcxhΔ→→Δ+−==Δ (4.1)Setelah kita memahami apa tafsiran fisis dari limit di atas, kita akan menyelesaikanpermasalahan perusahaan handpone yang diungkapkan pada awal bab, yang disajikanmenjadi contoh berikut.Contoh 4.3.1Sebuah perusahaan handpone memperkirakan bahwa biaya produksi (dalam jutaanrupiah) untuk model seri tertentu adalah:23() 1.20060,30,001Cxxxx=+− +0c c + h xyP(c, f(c))Q(c + h, f(c + h))ΔxΔy
189BAB IV ~ Limit Fungsidengan x banyak handphone yang diproduksi. Untuk memperoleh keuntunganmaksimum, maka perusahaan harus menekan biaya produksinya. Berapakah tingkatproduksi perusahaan tersebut untuk meminimumkan biaya produksi?Penyelesaian:Menurut rumus (4.1), besar laju perubahan biaya produksi terhadap banyak x satuanadalah:00()()lim lim hhCCxhCxxh→→Δ+−=ΔKita hitung dulu,+−+ +− + ++ −+ − +=−−+ + +==− − +++2323222322]()()[1.2006( )0,3( )0,001( )][1.20060,30,00160,30,60,0030,0030,00160,30,60,0030,0030,001hCxhCxxhxhxhxxxhhhxhxhxhhhhxxxhhDengan demikian,()→→→Δ+−=Δ=−−+ + +=− +002202()()lim lim lim 60,30,60,0030,0030,00160,60,003hhhCCxhCxxhhxxxhhxxJadi, besar laju perubahan biaya produksi terhadap x adalah 260,60,003xx−+.Selanjutnya, misalkan:2'( ) 60,60,003Cxxx=− +Persamaan ini adalah persamaan kuadrat dalam x, sehingga akan mencapai minimumketika:0,610022(0,003)bxa−=− =−=(Ingat pelajaran kelas X). Untuk x = 100 akan memberikan biaya produksi sebesar:=+ −+23(100)1.2006(100)0,3(100)0,001(100)C = 200.Jadi, pada tingkat produksi x = 100 satuan akan meminimumkan biaya produksiperusahaan, yang besarnya 200 juta rupiah.W1. Gelombang udara dingin mendekati suatu SMA. Temperatur t setelah tengah malam adalahT, dengan:20,1(40040),012Tttt=−+≤≤a. Tentukan rerata laju perubahan dari T terhadap t di antara jam 5 pagi dan jam 6 pagi.b. Tentukan laju perubahan sesaat T terhadap t pada jam 5 pagi.Latihan 4.3
Matematika Kelas XI - IPS SMA1902. Suatu perusahaan mulai beroperasi pada 14 Februari 2000. Pendapatan kotor tahunanperusahaan itu setelah t tahun adalah p juta rupiah, dengan 2() 50.00018.000600ptt t=+ +.Tentukan laju pertumbuhan pendapatan kotor pada 14 Februari 2007.3. Biaya produksi (dalam jutaan rupiah) x unit komoditas tertentu adalah:=++2() 5.000100,05Cxxxa. Tentukan rerata laju perubahan dari C terhadap x ketika tingkat produksi diubah:i. dari x = 100 sampai x = 105ii. dari x = 100 sampai x = 101b. Tentukan laju perubahan sesaat dari C terhadap x untuk x = 100. (Ini disebut biayamarginal)4. Fungsi berikut memberikan fungsi biaya pada suatu perusahaan. Jika x menyatakan banyakbarang yang diproduksi untuk setiap fungsi biaya yang diberikan, tentukan tingkatproduksi yang meminimumkan biaya, kemudian tentukan biaya produksi pada nilai ini.a.=++2() 25.0001200,1Cxxxb.=+− +23() 3.70050,040,0003Cxxxx4.4 Limit di Tak Hingga (Pengayaan)Sekarang kita akan meninjau limit fungsi apabila peubah bebas xnaik atau turun takterbatas. Limit semacam ini bermanfaat dalam teknik menggambar grafik fungsi. Disamping itu, limit-limit ini dapat digunakan pula untuk menentukan nilai-nilai ekstrimfungsi pada selang terbuka.Kita mulai dengan fungsi yang khusus. Misalkan didefinisikan oleh:21()fxx=Sketsa grafik fungsi ini diberikan oleh Gambar 4.12. Misalkan xmengambil nilai 1,2, 3, 4, 5, 10, 100, 1.000, dan seterusnya, dengan x naik tak terbatas. Nilai-nilai fungsiterkait diberikan pada Tabel 4.6. Dari tabel tersebut, dapat kita amati bahwa nilai-nilaifungsi f(x)semakin lama semakin dekat ke 0 apabila x naik menjadi besar sekali.Gambar 4.12Grafik Fungsi 2() 1fxx=-4 - 3 -2 -1 1 2 3 4321yx
191BAB IV ~ Limit FungsiTabel 4.6Tabel 4.7Secara intuisi, dapat kita lihat bahwa nilai f (x)mendekatinilai 0, apabila kita ambilxcukup besar. Untuk menjelaskan situasi ini, kita notasikan:21lim0xx→+∞=Notasi x→+∞ kita artikan bahwa bebas x naik tak terbatas dengan nilai-nilai positif,dan +∞ bukan bilangan real. Oleh karena itu, notasi x→+∞ tidak sama pengertiannyadengan 10x→. Ilustrasi di atas memotivasi definisi berikut.Definisi 4.3Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada sembarang interval (, )a+∞. Kitatuliskan:lim( )xfx L→+∞=jika untuk x positif yang naik besar sekali, maka nilai f(x) mendekati L.Sekarang kita tinjau fungsi f di depan dengan x mengambil nilai 1, 2, 3, 4, 5,10, 100, 1.000,
, dan seterusnya, dengan x turun dengan nilai negatif tak terbatas.Tabel 4.7 memberikan nilai-nilai fungsi f(x) terkait.Secara intuisi, dapat kita lihat bahwa nilai f(x)mendekati nilai 0, apabila kita ambil xcukup kecil dari bilangan negatif. Dalam hal ini kita tuliskan:21lim0xx→−∞=Definisi 4.4Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada setiap interval (,)b−∞. Kita tuliskan:lim( )xfx L→−∞=jika untuk x negatif yang turun kecil sekali, maka nilai f(x) mendekati L.x125101001.00010,250,040,010,00010,0000012()1f xx=x125101001.00010,250,040,010,00010,0000012()1f xx=
Matematika Kelas XI - IPS SMA192Teorema limit di subbab 4.2 tetap berlaku apabila xc→ kita ganti dengan x→+∞atau x→−∞. Kita mempunyai teorema tambahan berikut ini, yang kita sajikan tanpabukti.Teorema 4.3Jika r suatu bilangan positif, maka:1. 1lim0rxx→+∞=2. 1lim0rxx→−∞=Contoh 4.4.1Tentukan nilai dari:a.47lim35xxx→+∞−+c.23254lim1xxxx→+∞+++b.2lim1xxx→+∞+d.334lim23xxxx→+∞+−Penyelesaian:Untuk menggunakan Teorema 4.3, kita bagi pembilang dan penyebut dengan pangkattertinggi yang muncul dalam pembilang atau penyebut.a.7447404limlim5353033xxxxxx→+∞→+∞−−−===+−+b.2222221lim limlim1111xxxxxxxxxxxx→+∞→+∞→+∞==+++Dalam perhitungan penyebut kita peroleh:211lim000xxx→+∞⎛⎞+=+=⎜⎟⎝⎠Limit penyebut adalah 0 dan penyebut didekati untuk nilai-nilai x yang positif. Dalamhal ini kita simbolkan:2lim1xxx→+∞=+∞+
193BAB IV ~ Limit Fungsic.22333232333335454limlim1154lim11100006006xxxxxxxxxxxxxxxxxx→+∞→+∞→+∞++=+++++=+++===++d.333333332344limlim23231440lim23202xxxxxxxxxxxxxxx→+∞→+∞→+∞++=−−++===−−WContoh 4.4.2Hitunglah nilai limit yang diberikan.a.25lim23xxx→−∞+−c.2lim 6 ( 4)xxxx→+∞+−−b.()22lim 2xxxxx→+∞+− −d.223limxxx→+∞+Penyelesaian:a. Pangkat tertinggi dari xadalah 2 yang muncul di bawah tanda akar. Karena itupembilang dan penyebut kita bagi dengan 2xx=. Karena x→−∞, maka 0x<dan xx=−.Jadi,222255limlim32325lim3251lim32102012xxxxxxxxxxxxxxxx→−∞→−∞→−∞→−∞++=−−+−−=−−−=−−−=−−=
Matematika Kelas XI - IPS SMA194b. Kita rasionalkan bentuk akar itu,()22lim 2xxxxx→+∞+− −= ()2222222lim 22xxxxxxxxxxxxx→+∞++ −+− −×++ −= 22222lim2xxxxxxxxx→+∞+−+++ −= 3lim2111xxxxxx→+∞++ −= 3lim2111xxx→+∞++ −= 31010++ − = 32c. 222222226(4)lim 6 ( 4) lim ( 6 ( 4))6(4)6816lim6(4)14 16lim6(4)1614lim641114071010xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞++−+−−=+−−×++−+−+−=++−−=++−−=++−−==++−d. 22222323limlim32lim12xxxxxxxx→+∞→+∞→+∞++=+==W
195BAB IV ~ Limit FungsiUntuk menambah wawasan Anda tentang limit fungsi dan aplikasinya lebih lanjut,kunjungilah:·http://en.wikipedia.org/wiki/limit_of_function·http://learning-with-me.blogspot.com/2007/04/limit-function.htmlTentukan nilai dari setiap limit yang diberikan.1.31lim49xxx→+∞++ 6.2433lim1yyyy→+∞−++11.245lim3xxxx→−∞−++2.2248lim23xxxx→+∞+− 7.2325lim54xxxxx→−∞−+++12.2lim 1xxx→+∞+−3.281lim23xxxx→+∞+−+ 8.424271lim1xxxx→+∞−++13.2lim ()xxxx→+∞+−4.47lim23xxx→−∞+−9.29lim3xxx→+∞++14.22lim 1 1xxx→+∞+− −5.323425lim22xxxxx→−∞−+++10.29lim3xxx→−∞++15.231lim2xxxxx→+ ∞−− −−Tugas MandiriLatihan 4.4
Matematika Kelas XI - IPS SMA1961. Limit f(x) ketika x mendekati c sama dengan L, dituliskan dengan lim ( )xcfx L→=, jikakita dapat membuat nilai f(x) sembarang yang dekat dengan L (sedekat yang kitamau) dengan cara mengambil nilai x yang dekat dengan c, tetapi tidak sama dengan c.2. Limit kiri f(x) ketika x mendekati c sama dengan L, kita tuliskan dengan lim ( )xcfx L−→=,jika kita dapat membuat f(x) sembarang dekat dengan L dengan cara mengambilnilai x cukup dekat ke c, dan xlebih kecil daripada c.3. Jika pada (2) disyaratkan x harus lebih besar daripada c, maka diperoleh limit kanandari f(x), dan dinotasikan dengan lim ( )xcfx L+→=.4.lim ( )xcfx L→= jika dan hanya jika lim( )xcfx L−→= dan lim( )xcfx L+→=.5. Operasi aljabar berlaku pada perhitungan limit fungsi.6. Laju perubahan sesaat dari fungsi f di titik c didefinisikan sebagai 0()()lim hfc h fch→+−.7. Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada sembarang interval (, )a+∞. Jika untuk xpositif yang naik besar sekali, maka nilai f(x) mendekati L, dituliskan lim( )xfx L→+∞=.8. Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada setiap interval (,)b−∞. Jika untuk x negatifyang turun kecil sekali, maka nilai f(x) mendekati L, dituliskan lim( )xfx L→−∞=.Rangkuman
197BAB IV ~ Limit FungsiAugustin-Louis Cauchy1789 1857Augustin-Louis Cauchy lahir di Paris dan dididik di EcolePolytechnique. Karena kesehatan yang buruk, iadinasehatkan untuk memusatkan pikiran pada matematika.Selama karirnya, ia menjabat mahaguru di EcolePolytechnique, Sorbonne, dan College de France.Sumbangan-sumbangan matematisnya cemerlang danmengejutkan dalam jumlahnya. Produktivitasnya sangathebat sehingga Academy Paris memilih untuk membatasiukuran makalahnya dalam majalah ilmiah untuk mengatasikeluaran dari Cauchy.Cauchy seorang pemeluk Katolik saleh dan pengikut Rajayang patuh. Dengan menolak bersumpah setia kepadapemerintah Perancis yang berkuasa dalam tahun 1830, ia mengasingkan diri ke Italiauntuk beberapa tahun dan mengajar di beberapa institut keagamaan di Paris sampaisumpah kesetiaan dihapuskan setelah revolusi 1848.Cauchy mempunyai perhatian luas. Ia mencintai puisi dan mengarang suatu naskahdalam ilmu persajakan bahasa Yahudi. Keimanannya dalam beragama mengantarnyamensponsori kerja sosial untuk ibu-ibu tanpa nikah dan narapidana.Walaupun kalkulus diciptakan pada akhir abad ke tujuh belas, tetapi dasar-dasarnyatetap kacau dan berantakan sampai Cauchy dan rekan sebayanya (Gauss, Abel, danBolzano) mengadakan ketelitian baku. Kepada Cauchy kita berutang pemikiranpemberian dasar kalkulus pada definisi yang jelas dari konsep limit.Sumber: Kalkulus dan Geometri Analitis, 1988, hal. 43Gambar 4.13Augustin-Louis CauchySumber: www.math.uu.seMath Info
Matematika Kelas XI - IPS SMA198I. PETUNJUKUntuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 15, pilihlah satu jawaban yangpaling tepat!1. Nilai 2 214lim 24xxx→⎛⎞−⎜⎟−−⎝⎠ adalah
.A.0B. 1/4C. 1/2D. 2E. 42.22 256lim 4xxxx→++=−... .A. 1/2B. 1/4C.0D. 1/4E. 1/23.2 11lim 32xxx→−=+− ... .A. 6B. 4C. 2D. 4E. 64. 1(3)( 3)lim 3xxxx→−+=− ... .A.0B. 3C. 6D. 12E. 155.211lim 1xxx→−=− ... .A.0B. 1/4C. 1/2D. 1E. 4Uji Kompetensi
199BAB IV ~ Limit Fungsi6. Jika 43lim 44xaxbxx→+−=−, maka a + b =
.A. 3B. 2C. 1D. 1E. 27.2323lim ....9xxxx→−+=−A. 3/2B. 1C. 1/3D. 1/9E.08.2025lim ....39xxxx→−=−+A. 30B. 1C.0D. 1E. 309. Jika 2() 12fxx=, maka 0()()lim ....tfxtfxt→+−=A.14x−B.31x−C.314xD.14xE.31x10.(4 5 )( 2)lim ....( 2)(1 )xxxxx→∞+−=+−A. ∞B. 1/5C. 2D. 5E.∞11.()lim ( )( ) ....xxpxqx→∞++−=A.0B.pqC.p qD.12()pq+E.p q
Matematika Kelas XI - IPS SMA20012.()2lim (4 5) 4 3 ....xxxx→∞+− −=A.∞B. 8C. 5/4D. 1/2E.013.3228lim ....2xxxx→−=−A.0B. 2C. 4D. 6E.∞14.)lim ....abaabbab→−=−A.∞B. 3bC.3bD. 3aE.015.022lim ....txxx→+−−=A.24B. 1/2C.221D.2E.22II. PETUNJUKUntuk soal nomor 16 sampai dengan nomor 20, kerjakan dengan singkatdan jelas!16. Hitunglah nilai dari 262lim 31xxx→−−−−.17. Jika 2() 1fxx=, hitunglah nilai dari 3() (3)lim 3xfxfx→−−.
201BAB IV ~ Limit Fungsi18. Carilah bilangan a dan b sehingga 220lim 328xxaxbx→−+=−.19. Hitunglah nilai dari →⎛⎞−⎜⎟+−⎝⎠322122lim23xxxx.20. Jika lim [() ()]2xcfxgx→+= dan lim [() ()]1xcfxgx→−=, carilah lim ( ) ( )xcfxgx→.1. Misalkan jumlah penduduk pada kota tertentu setelah t tahun dari 1 Januari2001 sebesar 10.000 + 200t + 40t2. Tentukan laju pertumbuhan pada 1 Januari2010.2. Jika C(x) menyatakan fungsi biaya untuk memproduksi sebanyak x barang,tentukan tingkat produksi yang meminimumkan biaya, apabila C(x) = 339 +25x 0,09x2 + 0,0004x3.3. Tentukan tingkat produksi yang akan memaksimumkan keuntunganperusahaan, jika fungsi biaya C(x) = 10.000 + 28x 0,01x2 + 0,002x3 dan fungsipermintaan P(x) = 90 + 0,02x.Soal Analisis
Matematika Kelas XI - IPS SMA202AktivitasNama :
..Tanggal : .....................Kelas : XIMateri Pokok : Limit fungsiKelompok:
..Semester : 2 (dua)Kegiatan : Mengalirkan air dari dispenserTujuan : Menentukan debit air yang mengalir dari dispenserA. Alat dan bahan yang digunakan1. Dispenser4. Alat tulis dan komputer2. 1 galon air mineral (19 liter) 5. Buku catatan3. Gelas ukur6. StopwatchB. Cara kerja1. Buatlah kelompok yang beranggotakan 4 atau 5 siswa.2. Siapkan galon air pada dispenser, stopwatch, dan alat tulis.3. Alirkan air dari dispenser. Catat banyaknya volume air yang keluar daridispenser untuk setiap periode waktu 5 menit pada tabel di bawah.C. Analisis1. Buatlah grafik dari data yang Anda peroleh di atas. Jika mungkin gunakankomputer.2. Jika P(t, V) adalah titikuntuk t = 15, carilah kemiringan tali busur PQapabila Q adalah titik pada grafik dengan t = 5, 10, 15, 20, 25, dan 30.3. Perkirakan kemiringan garis singgung di P dengan merata-ratakemiringan dua tali busur.4. Gunakan grafik fungsi untuk memperkirakan kemiringan garis singgungdi P. Kemiringan ini menyatakan debit air yang mengalir dari dispensersetelah 15 menit.5. Tafsirkan hasil di atas sebagai notasi limit. t(menit) 5 10 15 20 25 30 V(liter)Aktivitas Proyek